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初中二次函數所有知識點

來源:網絡資源 2022-04-23 17:06:56

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1 二次函數的定義

一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等都是二次函數.

注意:(1)二次函數是關于自變量的二次式,二次項系數a必須是非零實數,即a≠0,而b,c是任意實數,二次函數的表達式是一個整式;

(2)二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),自變量x的取值范圍是全體實數;

(3)當b=c=0時,二次函數y=ax2是最簡單的二次函數;

(4)一個函數是否是二次函數,要化簡整理后,對照定義才能下結論,例如y=x2-x(x-1)化簡后變為y=x,故它不是二次函數.

2拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P,坐標為

P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。

3二次函數的三種表達式

①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

②頂點式[拋物線的頂點 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k

③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]:y=a(x-x1)(x-x2)

以上3種形式可進行如下轉化:

①一般式和頂點式的關系

對于二次函數y=ax^2+bx+c,其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交點式的關系

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

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