2022年初中數學：整式的運算

一、整式

單項式和多項式統稱整式。

(a)由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。

(b)單項式的系數是這個單項式的數字因數，作為單項式的系數，必須連同數字前面的性質符號，如果一個單項式只是字母的積，并非沒有系數，系數為1或-1。

(c)一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數(注意：常數項的單項式次數為0)

(a)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。其中，不含字母的項叫做常數項。一個多項式中，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。

(b)單項式和多項式都有次數，含有字母的單項式有系數，多項式沒有系數。多項式的每一項都是單項式，一個多項式的項數就是這個多項式作為加數的單項式的個數。多項式中每一項都有它們各自的次數，但是它們的次數不可能都作是為這個多項式的次數，一個多項式的次數只有一個，它是所含各項的次數中最高的那一項次數。

(a)整式的加減實質上就是去括號后，合并同類項，運算結果是一個多項式或是單項式。

(b)括號前面是“-”號，去括號時，括號內各項要變號，一個數與多項式相乘時，這個數與括號內各項都要相乘。

二、同底數冪的乘法

(m，n都是整數)是冪的運算中最基本的法則，在應用法則運算時，要注意以下幾點：

(a)法則使用的前提條件是：冪的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數字式字母，也可以是一個單項或多項式;

(b)指數是1時，不要誤以為沒有指數;

(c)不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加;而對于加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加;

(d)當三個或三個以上同底數冪相乘時，法則可推廣為

(其中m、n、p均為整數);

e)公式還可以逆用：

(m、n均為整數)

(a)冪的乘方法則：

(m，n都是整數數)是冪的乘法法則為基礎推導出來的，但兩者不能混淆。

(b)(m、n都為整數)。

(c)底數有負號時，運算時要注意，底數是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，如將(-a)3化成-a3

(d)底數有時形式不同，但可以化成相同。

(e)要注意區別(ab)n與(a+b)n意義是不同的，不要誤以為(a+b)n=an+bn(a、b均不為零)。

(f)積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(ab)n=anbn(n為正整數)。

(g)冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

五、同底數冪的除法

(a)同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即

(a≠0)。

(b)在應用時需要注意以下幾點：

(1)法則使用的前提條件是“同底數冪相除”而且0不能做除數，所以法則中a0。

(2)任何不等于0的數的0次冪等于1，即a0=1(a≠0)，如100=1，(-2.50=1)，則00無意義。

(c)任何不等于0的數的-p次冪(p是正整數)，等于這個數的p的次冪的倒數，即

初一數學上冊知識點：整式的加減

(a≠0，p是正整數)，而0-1，0-3都是無意義的;當a>0時，a-p的值一定是正的，當a<0時，a-p的值可能是正也可能是負的，如

，d)運算要注意運算順序。

六、整式的乘法

單項式相乘，它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

(a)積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將系數相乘與指數相加混淆;

(b)相同字母相乘，運用同底數冪的乘法法則;

(c)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式;

(d)單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用;

(e)單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

(a)單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同;

(b)運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號;

(c)在混合運算時，要注意運算順序。

多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

(a)多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項式項數的積;

(b)多項式相乘的結果應注意合并同類項;

(c)對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，其二次項系數為1，一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對于一次項系數不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到

七、平方差公式

兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即

其結構特征是：

(a)公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數;

(b)公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

八、完全平方公式

兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，即

口訣：首平方，尾平方，2倍乘積在中央;

(a)公式左邊是二項式的完全平方;

(b)公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

(c)在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現

這樣的錯誤。

九、整式的除法

單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式;

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。

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