2024年初中常用數學知識點—關于三角形

三角形的角

內角

三角形三個內角的和等于180°.

因此推理可知，直角三角形的兩個銳角互余;一個三角形中最多只有一個鈍角或直角.

外角

三角形的外角和等于360°.

性質：

1.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

2.三角形的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內角

拓展：多邊形的角

內角：

n邊形的內角和為：(n-2)x180°(n≥3)，正n邊形每個內角的度數為：(n-2)x180°÷n.

外角：

多邊形的外角和為360°;正多邊形的每個外角和度數為360°÷n.

三角形的

三線

高：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的高的垂足不一定落在三角形的邊上，有可能落在邊的延長線上.

中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線.

角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線

特殊

的三角形

等腰三角形

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形相，等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.

等腰三角形的性質：

1.等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線底邊上的高相互重合.

3.等腰直角三角形的兩個底角相等，且等于45°.

判定方法：

1.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2.如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，及這個三角形為等腰三角形.(等角對等邊)

對于等腰三角形的問題，我們在說角或邊時一般都要指明是頂角還是底角，是底邊還是腰?若是沒有說明，則兩者都有可能需要分類討論，這是解決等腰三角形問題，最容易忽視和產生錯誤的地方.

等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.等邊三角形的內心，外心，重心和垂心四心合一.

性質：

1.等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.

2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸相交于一點，該點稱為中心.

3.等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質,等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線“三線合一”.

判定方法：

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.三個角都是相等的，三角形是等邊三角形.

3.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

含30°角的直角三角形

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

全等

三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

全等符號用全等用符號“≌”表示，讀作：“全等于”，△ABC≌△A'B'C'讀作“三角形ABC全等于三角形A'B'C' ”.

全等三角形的性質

1.全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

2.全等三角形的周長相等面積相等.

3.全等三角形的對應邊上的對應中線，角平分線，高線分別相等.

三全等三角形的判定定理

1. SSS(邊邊邊)

三邊分別相等的兩個三角形全等.

2. SAS(邊角邊)

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

3. ASA(角邊角)

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.

4. AAS(角角邊)

兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等.。

5. HL(斜邊、直角邊)

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.

三角形全等的判定方法的選擇

相似

三角形

性質

1. 相似三角形對應線段的比等于相似比

相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，且對應邊的比對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.

2. 相似三角形面積的比等于相似比的平方

相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

判定

1.預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構成的三角形與原三角形相似.

2.判定定理一：三邊對應成比例的兩個三角形相似.

3.判定定理二：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

4.判定定理三：兩角分別相等的兩個三角形相似.

5.直角三角形相似的判定定理：一個銳角相等的兩個直角三角形相似.

兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

應用

此類題答題的核心就是要構造相似三角形。

1.利用陽光下的影子測量物體的高度

條件：參照物的高度，參照物的影長，被測物體的影長.

原理：是同一時刻，同一地點，物高與影長成比例.

公式：AB= DF/FE·BC

2.利用燈光下的影子測量路燈的高度。

條件：人的身高，人的影子長，影子頂端到路燈底部的距離.

原理：人的身高，路燈的高度，人的影子長，影子頂端到路燈底部的距離成比例.

公式：AB=CD/DE ·BE

3.利用標桿測量物體的高度

條件：人的身高，人到物體的距離，人到標桿的距離，標桿的高度.

原理：構造相似三角形，把被測物體分成兩部分求解.

公式：PB=BD/GD ·FG，PO=PB+AD

4.利用鏡子的反射測量物體的高度

條件：人的身高，人到鏡子的距離，物體到鏡子的距離.

原理：根據入射角等于反射角構造相似三角形.

公式：AB=DE/EC ·BC

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